Question

Докажите неравенство
(a+b)(ab+9) >=12ab (a>0, b>0)

Answer 1

$(a+b)(ab+9) geq 12ab$
докажем, что если $a textgreater 0,and,b textgreater 0$, то $frac{a+b}{2} geq sqrt{ab }$
$(a+b)^2 geq 4ab$
$a^2+2ab+b^2 geq 4ab$
$a^2-2ab+b^2 geq 0$
$(a-b)^2 geq 0$

теперь воспользуемся:
в левой части нашего неравенство заменим $a+b$ на меньшее или такое же $2 sqrt{ab}$:
$2 sqrt{ab} (ab+9) geq 12ab$
$ab+9 geq 6 sqrt{ab}$
$(sqrt{ab})^2 -2* sqrt{ab} *3+3^2 geq 0$
$(sqrt{ab} -3)^2 geq 0$

Полученное неравенство справедливо, значит и справедливо и исходное, в рамках ограничений на a и b.