Question

Возведите в степень по формуле муавра:(4+i4)^5

Answer 1

(4+i4)⁵=4⁵(1+i)
Запишем число z=1+i в показательной форме:
r=√(x²+y²)=√(1+1)=√2
Поскольку число z находится в первой четверти, то:
tgφ=y/x=1/1=1  ⇒  φ=π/4.
Таким образом, можно записать число z=1+i в показательной форме:
z=√2e^(i*x/₄).
Теперь, используя формулу Муавра находим z⁵:
(1+i)⁵=(√2)⁵*e^(ix/4)⁵=4√2*e^(5ix/4)=4√2*(cos(5π/4)+isin(5π/4)=
=4√2*(√2/2+i√2/2)=4√2*√2/2*(1+i)=4*(1+i)  ⇒
(4+i4)⁵=4⁵*(1+i)⁵=4⁵*4*(1+i)=4⁶*(1+i).
Ответ: 4⁶*(1+i).