Question

В трёхзначном числе а сотен, б-десятков и с единиц и а>с.
1) Составьте и упростить сумму данного числа и числа, записанного теми же цифрами, но взятками в обратном порядке.
2) Составить разность данного числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке. Доказать, что полученная разность делится на 9 и на 11.

Answer 1

1) 
$A= overline{abc}=100a+10b+c;$
$B=overline{cba}=100c+10b+a$
$A+B=100*(a+c)+10*2b+(a+c)= overline{a+c,2b,a+c}$
$a neq 0,and,c neq 0;and,0<a+c leq 9,and,0<2b leq 9$

2) 
$A-B=100*(a-c)+10*0+(c-a)= overline{a-c,0,c-a}$
$a neq 0,and,c neq 0,and,0 textless a-c textless 9,and,0 textless c-a textless 9$

На 9: Натуральные числа при делении на 9 дают такой же остаток, что и сумма их цифр. Основываясь на этом, число $A$ и число $B$ имеют одинаковые остатки. Теперь, если эти два числа отнять, и разделить на 9, при этом делении от чисел $A$ и $B$ уничтожатся, т.е. у числа $A-B$ в остатке при делении на 9 оказывается 0, что и означает, что эта разница делится на 9 нацело.

Или по другому, сразу и на 11 и на 9:
$A-B=100*(a-c)+10*0+(c-a)=99a-99c=11*9*(a-c)$