Question

в треугольнике ABC медины BB1 и CC1 пересекаются в точке O и равны 15 см и 18 см соответственно. Найдите периметр треугольника ABC,если угол BOC равен 90 градусов

Answer 1

Задача решается проще, если вспомнить, что медианы в точке пересечения (т. е. все три медианы в любом треугольнике пересекаются внутри него строго в одной точке - это центр тяжести треугольника). Так вот эти медианы делятся в точке пересечения в соотношении 2 к 1, считая от вершины. Значит ВО=15*2/3=30/3=10 см, СО=18*2/3=6*2=12 см.

ОВ1=15/3=5 см, ОС1=18/3=6 см. Теперь нужно вспомнить теорему Пифагора. Треугольник ВОС - прямоугольный, значит ВС - гипотенуза.

$<var>BC^2=BO^2+OC^2</var>$

$<var>BC^2=10^2+12^2</var>$

$<var>BC^2=100+144</var>$

$<var>BC=\sqrt{244}</var>$

Треугольник ВОС1 - тоже прямоугольный, так как угол С1OB - прямой. Доказывается так.

$<var>\angle COC_1=\angle C_1OB+\angle BOC</var>$

 

$<var>\angle COC_1=180^0</var>$ - как развернутый угол.

 

$<var>180^0=\angle C_1OB+90^0</var>$

 

$<var>\angle C_1OB=180^0-90^0</var>$

 

$<var>\angle C_1OB=90^0</var>$

 

По теореме Пифагора из треугольника находим гипотенузу ВС1.

 

$<var>BC_1^2=C_1O^2+BO^2</var>$

 

$<var>BC_1^2=6^2+10^2</var>$

 

$<var>BC_1=\sqrt{136}</var>$

 

Заметим, что BC1 - половина АВ по определению медианы СС1.

$<var>AB=2\sqrt{136}</var>$

 

Треугольник B1OC - прямоугольный, так как угол B1OC - прямой, как вертикальный к углу С1OB. Та же теорема Пифагора, чтобы вычислить гипотенузу В1С.

 

$<var>B_1C^2=OB_1^2+OC^2</var>$

 

$<var>B_1C^2=12^2+5^2</var>$

 

$<var>B_1C^2=144+25</var>$

 

$<var>B_1C^2=169</var>$

 

B1C=13 см.

 

Заметим также, что В1С - половина АС. Значит АС=26 см.

 

Вычислим периметр АВ.

 

$<var>P_{\Delta ABC}=26+2\sqrt{136}+\sqrt{244}</var>$