Question

1) Доказать, что четырехугольник ABCD - параллелограмм, если
A(-4;0;2), B(-1;-2;-3), C(3;-2;-6), D(0;0;-1)
2) Отрезок BM - медиана треугольника ABC. Найти координаты точки С, если
A(-2;-9;0), M(-1;-2;-3)
Помогите пожалуйста(

Answer 1

1) Доказательством, что четырехугольник ABCD - параллелограмм, служит наличие параллельности противоположных сторон.
То есть, надо составить уравнения сторон его и, если условие параллельности двух прямых в пространстве выполняется, то стороны параллельны.
Условие: $frac{m}{m_1} = frac{n}{n_1} = frac{p}{p_1} ,$
где m, n и p - направляющие коэффициенты прямой, которые являются проекциями на координатные оси Ox, Oy, Oz направляющего вектора прямой.
Дано A(-4;0;2), B(-1;-2;-3), C(3;-2;-6), D(0;0;-1).
$AB: frac{x+4}{3}= frac{y}{-2}= frac{z-2}{-5}$
                     х    у    z   
Вектор СД:  -3    2    5.
Отношение (-3/3)=2/(-2)=5/(-5) = -1.
Это означает, что прямые равны и параллельны, но направлены в разные стороны. Это так и есть - направления  АВ и СД отличаются на 180 градусов.
Аналогично доказывается равенство и параллельность сторон ВС и АД.

2) Точка С симметрична точке А относительно средней точки М.
Хс = 2Хм-Ха = 2*(-1)-(-2) = -2+2 = 0,
Ус = 2Ум-Уа = 2*(-2)-(-9) = -4+9 = 5,
Zc = 2Zm-Za = 2*(-3)-0 = -6.