Question

Есть 100 различных натуральных чисел, среднее арифметическое любых 10 их них целое. Какое наименьшее значение может принимать наибольшее из этих чисел?

Answer 1

Выделим группу из 9 чисел ,пусть их сумма равна s,выделим также два числа a и b вне этой группы. Тогда числа: s+a и s+b делиться на 10,тогда делиться на 10 и их разность: то есть a-b делиться на 10,то есть разность любых двух чисел делится на 10.Верно и обратное:если разность любых двух делиться на 10,то среднее арифметическое любых 10 делиться на 10. Действительно: просуммировать все разности с числом a и других произвольных 10 чисел,получим что 10a-(b1+b2.. +b10) делиться на 10 ,значит следующая сумма неизбежно делиться на 10.Расположим числа в порядке возрастания. Заметим что разность между двумя соседними числами не менее 10,тк делиться на 10. Таким образом чтобы наибольшее число было наименьшим,необходимо чтобы все разности между любыми двумя соседними числами были минимальны,то есть равны 10(если все разности между двумя соседними равны 10,то разность между любыми двумя делиться на 10).А самое маленькое число было минимальным ,то есть равным 1,тогда наименьшее наибольшее число будет равно :1+10*99=991.