Question

Помогите решить пределы. Решил все кроме этих. Или хотя бы подскажите направление в котором нужно думать.Примеры внутри. $1)lim_{n to infty} frac{ sqrt[3]{ n^{2}+n} }{n+2} } 2)lim_{xto infty} frac{ sqrt{9+2x}-5 }{ sqrt[3]{x}-2 }$

Answer 1

$lim_{n to infty} frac{ sqrt[3]{n^2+n} }{n+2} = lim_{n to infty} frac{ sqrt[3]{n^2+n} }{(n+2) sqrt[3]{1} } = lim_{n to infty} frac{ sqrt[3]{n^2+n} }{sqrt[3]{(n+2)^3} } =$
$lim_{n to infty} sqrt[3]{ frac{n^2+n}{(n+2)^3} } = lim_{n to infty} sqrt[3]{ frac{(n^2+n)* frac{1}{n^2} }{(n+2)^3* frac{1}{n^2} } } =$
$= lim_{n to infty} sqrt[3]{ frac{1+ frac{1}{n} }{(1+ frac{2}{n} )^2(n+2) } } = frac{ lim_{n to infty} sqrt[3]{1+ frac{1}{n} } }{ lim_{n to infty} sqrt[3]{(1+ frac{2}{n} )^2(n+2)} } = frac{1}{infty} =0$

$lim_{x to infty} frac{ sqrt{9+2x}-5 }{ sqrt[3]{x}-2 } = lim_{x to infty} frac{ (sqrt{9+2x}-5)* frac{1}{ sqrt[3]{x} } }{( sqrt[3]{x}-2 )* frac{1}{ sqrt[3]{x} } } =$
$lim_{x to infty} frac{ frac{ sqrt{9+2x} }{ sqrt[3]{x} } - frac{5}{ sqrt[3]{x} } }{1- frac{2}{ sqrt[3]{x} } } = frac{ lim_{x to infty} frac{sqrt{9+2x} }{ sqrt[3]{x} } - frac{5}{ sqrt[3]{x} } }{ lim_{x to infty} 1- frac{2}{ sqrt[3]{x} } } = lim_{x to infty} frac{sqrt{9+2x} }{ sqrt[3]{x} } - frac{5}{ sqrt[3]{x} } =$
$=lim_{x to infty} frac{sqrt{9+2x} }{ sqrt[3]{x} } - lim_{x to infty} frac{5}{ sqrt[3]{x} } =lim_{x to infty} frac{sqrt[6]{(9+2x)^3} }{ sqrt[6]{x^2} }=$
$lim_{x to infty} frac{sqrt[6]{(9+2x)^3} }{ sqrt[6]{x^2} }= lim_{x to infty} sqrt[6]{ frac{(9+2x)^3}{x^2} } =$
$= lim_{x to infty} sqrt[6]{( frac{9}{x} +2)^2*(9+2x)} =infty$