Question

помогите плиз решить!!!!
Докажите, что заданное множество состоит из одного числа (элемента) и найдите это число

Answer 1

${x | 41 sqrt{x} leq -x}$
$41 sqrt{x} leq -x$
$sqrt{x} leq - frac{x}{41}$
$left{begin{array}{l} x geq 0 \ - frac{x}{41} geq 0 \ x leq (frac{x}{41} )^2 end{array}$
$left{begin{array}{l} x geq 0 \ - x geq 0 \ x leq (frac{x}{41} )^2 end{array}$
$left{begin{array}{l} x geq 0 \ x leq 0 \ x leq (frac{x}{41} )^2 end{array}$
Первым двум неравенствам удовлетворяет единственное число - 0. Легко заметить, что оно же удовлетворяет и третьему неравенству. Значит и исходному характеристическому свойству множества удовлетворяет одно число - число 0.

${x | x leq 2sqrt{x-1} }$
$x leq 2sqrt{x-1}$
$frac{x}{2} leq sqrt{x-1}$
$sqrt{x-1} geq frac{x}{2}$
$left[begin{array}{l} left{begin{array}{l} x-1 geq 0 \ frac{x}{2} textless 0 end{array} \ left{begin{array}{l} x-1 geq 0 \ frac{x}{2} geq 0 \ x-1 geq ( frac{x}{2} )^2 end{array} end{array}$
$left[begin{array}{l} left{begin{array}{l} x geq 1 \ x textless 0 end{array} \ left{begin{array}{l} x geq 1 \ x geq 0 \ x-1 geq frac{x^2}{4} end{array} end{array}$
Первая система не имеет решений, поэтому далее рассматриваем только вторую систему:
$left{begin{array}{l} x geq 1 \ x geq 0 \ x-1 geq frac{x^2}{4} end{array}$
$left{begin{array}{l} x geq 1 \ 4x-4 geq x^2 end{array}$
$left{begin{array}{l} x geq 1 \ x^2-4x+4 leq 0 end{array}$
$left{begin{array}{l} x geq 1 \ (x-2)^2 leq 0 end{array}$
Для второго неравенства получаем x=2, при этом значении х левая часть равна нулю, при других значениях х квадрат числа будет положительным. Число 2 также удовлетворяет первому неравенству. Значит исходное множество содержит один элемент - число 2.

Answer 2

$41 sqrt{x} leq -x$
$left { {{ 0leq 41^2x leq (-x)^2} atop {-x geq 0}} right. ; left { {{ 0leq 41^2x leq x^2} atop {x leq 0}} right. ; left { {{ 41^2x leq x^2} atop {41^2x geq 0}} atop{x leq 0} right. ; left { {{ 41^2x leq x^2} atop {x geq 0}} atop{x leq 0} right.$

Одновременным решением третьего и второго неравенств есть лишь одно число: $0$
Подстановкой можно убедится, что оно превращает первое неравенство в правдивое числовое неравенство:  $41^2*0 leq 0^2;0 leq 0$
Значит множество х-ов заданно единственным числом: 0-м

$x leq 2sqrt{x-1}$
$-2sqrt{x-1} leq -x$
$2sqrt{x-1} geq x$

$left { {{x geq 0} atop {4(x-1) geq x^2}} right. ,or, left { {{x textless 0} atop {4(x-1) geq 0}} right.$

$left { {{x geq 0} atop {-x^2+4x-4 geq 0}} right. ,or, left { {{x textless 0} atop {x-1 geq 0}} right.$

$left { {{x geq 0} atop {x^2-4x+4 leq 0}} right. ,or, left { {{x textless 0} atop {x geq 1}} right.$

$left { {{x geq 0} atop {(x-2)^2 leq 0}} right.$

Единственное значение х-са, при котором выполняется второе неравенство это $x=2$, которое также удовлетворяет и первое неравенство.

Значит множество х-ов заданно единственным числом: 2-ой