Question

(16+16isqrt(2))^12/(2^60) решите по формуле Муавра

Answer 1

$displaystyle dfrac{(16+16i sqrt{2})^{12}}{2^{60}}= frac{16^{12}(1+isqrt{2} )^{12}}{2^{60}} = dfrac{(1+isqrt{2} )^{12}}{2^{12}}$
Рассмотрим $z=1+isqrt{2}$.Перейдем к тригонометрической форме.
 Модуль комплексного числа: $|z|= sqrt{1^2+(sqrt{2} )^2} =sqrt{3}$.
Поскольку x=1>0; y=√2>0, то $phi=arctg frac{x}{y} =arctgsqrt{2}$

$z=1+isqrt{2} =sqrt{3} bigg(cos(arctgsqrt{2} )+isin(arctgsqrt{2} )bigg)$

Используя формулу Муавра $(r(cosphi+isin phi))^n=r^nbigg(cos(nphi)+isin(nphi)bigg)$, получим

$z^{12}=(sqrt{3} )^{12}bigg(cos (12arctgsqrt{2} )+isin(12arctgsqrt{2} )bigg)boxed{=}$

Посчитаем отдельные нюансы.
$cos(12arctgsqrt{2} )=2cos^2(6arctgsqrt{2} )-1=\ \ \ =2(2cos^2(3arctgsqrt{2} )-1)^2-1=2(2(4cos^3(arctgsqrt{2} ))-\ \ \ -3cos(arctgsqrt{2} )))^2-1)^2-1$
Используя равенство $cos(arctg alpha )= dfrac{1}{ sqrt{ alpha ^2+1} }$, получим что

$cos(12arctgsqrt{2} )= dfrac{329}{729} .$

Посчитаем теперь
$sin(12arctgsqrt{2} )=2sin(6arctgsqrt{2} )cos(6arctgsqrt{2} )=\ \ \ =4sin(3arctgsqrt{2} )cos(3arctgsqrt{2} )(2cos^2(3arctgsqrt{2} )-1)=\ \ \ =8(3sin(arctgsqrt{2} )-4sin^3(arctgsqrt{2} ))(4cos^3(arctgsqrt{2} )-\ \ \ -3cos(arctgsqrt{2} ))(4cos^3(arctgsqrt{2} )-3cos(arctgsqrt{2} ))^2-1)$
Используя равенство $sin(arctg alpha )= dfrac{ alpha }{ sqrt{ alpha ^2+1} }$, получим что $sin(12arctgsqrt{2} )=- dfrac{460sqrt{2} }{729}$

Остаточно имеем

$boxed{=},,,,329-460i sqrt{2}$

$dfrac{(16+16i sqrt{2} )^{12}}{2^{60}}= dfrac{329-460i sqrt{2} }{2^{12}} = dfrac{329}{4096} - dfrac{115i}{512 sqrt{2} }$


Ответ: $dfrac{329}{4096} - dfrac{115i}{512 sqrt{2} } .$