Question

На сторонах MN и KP параллелограмма КMNP отложены равные отрезки NA и KB. Докажите,что четырехугольник АМВР параллелограмм

Answer 1

Поскольку у параллелограмма КMNP  противоположные стороны параллельны и равны,  противоположные углы равны, значит
 КР=MN и КР║MN
КМ=NР  и КМ║NР
∠К=∠N
∠М=∠Р

Рассмотрим треугольники КВР и МNА.
KB=NA - это дано по условию задания.
КР=MN - это мы выяснили выше
∠K=∠N - это мы выяснили выше
А эти равности дают нам право утверждать, что треугольник КВР=треугольнику МNА.
А это означает, что BP=MA.
Также из равности треугольников можно утверждать, что 
∠KBP=∠NAM
∠BPK=∠AMN.

Сумма мер двух смежных углов равна 180°, значит
∠MBP+∠KBP=180°, отсюда ∠MBP=180° - ∠KBP
∠PAM+∠NAM=180°, отсюда ∠PAM=180° - ∠NAM

Поскольку ∠KBP=∠NAM, а значит
∠MBP=∠PAM

Поскольку ∠BPK=∠AMN и ∠KMN=∠KPN, тогда
∠KMA=∠NPB, так как
∠KMN=∠KMA+∠AMN, отсюда ∠KMA=∠KMN-∠AMN
∠KPN=∠BPK+∠NPB, отсюда ∠NPB=∠KPN-∠BPK

KM=KB+МB, отсюда MB=KM-KB
NP=NA+AP, отсюда AP=NP-NA
Поскольку KM=NP, а KB=NA, значит
MB=AP.
Поскольку  KM║NP, то и MB║AP.

Получаеться, мы выяснили, что 
BP=MA
∠MBP=∠PAM
∠KMA=∠NPB
MB=AP
MB║AP.

Из всего этого мы можем сделать вывод, что АМВР - это параллелограмм, поскольку у него противоположные стороны и углы равны.