Question

содержит ли область значений функции y=-4x²+4√5x - 5 + √3 отрезок [0;√2

Answer 1

Выделим полный квадрат:

$y(x)=-4x^2+4 sqrt{5}x-5+ sqrt{3}=-4(x^2+ sqrt{5}x )-5+ sqrt{3}=$
$=-4(x^2+ 2*x* frac{ sqrt{5} }{2} )-5+ sqrt{3} =$
$=-4(x^2+ 2*x* frac{ sqrt{5} }{2}+( frac{ sqrt{5} }{2} )^2-( frac{ sqrt{5} }{2} )^2)-5+ sqrt{3}=$
$=-4[(x+ frac{ sqrt{5} }{2})^2-frac{5}{4}]-5+ sqrt{3}=$
$=-4(x+ frac{ sqrt{5} }{2})^2+(-4)*(-frac{5}{4})-5+ sqrt{3}=$
$=-4(x+ frac{ sqrt{5} }{2})^2+5-5+ sqrt{3}=$
$=-4(x+ frac{ sqrt{5} }{2})^2+ sqrt{3}$

Выражение $(x+ frac{ sqrt{5} }{2})^2 geq 0$
по этому выражение $-4(x+ frac{ sqrt{5} }{2})^2 leq 0$
и тогда выражение $-4(x+ frac{ sqrt{5} }{2})^2+ sqrt{3} leq sqrt{3}$
т.е. область значений функции $y(x)$ это интервал $(-infty; sqrt{3}]$
который содержит интервал $[0; sqrt{2}]$

Ответ: да содержит