Ответы
АВ- гипотенуза, АС и ВС - катеты.
∠А=α, АС=в
косинус угла - это отношение прилежащего катета к гипотенузе:
сos∠А= сos α=АС/АВ=в/АВ, отсюда
гипотенуза АВ=в/сos α
тангенс угла - это отношение противолежащего катета к прилежащему:
tg∠А= tgα= ВС/АС=ВС/в, отсюда
катет ВС=в* tgα.
Ответ: АВ=в/сos α и ВС=в* tgα.
2) Поскольку нам известно две стороны треугольника и угол между ними, то площадь данного треугольника вычисляется, как половина произведения этих сторон умноженная на синус угла между ними:
S=0,5*АВ*АС*sin∠А=0,5*5*6*sin45°=0,5*5*6*√2/2=7,5√2
Ответ: S=7,5√2
3) Треугольник АВС - равнобедренный, поскольку АВ=ВС=10.
А это значит, что в этом треугольнике высота ВД является и его медианой, то естьАД=СД=0,5*АС=0,5*12=6
Треугольник АВД - прямоугольный, ∠Д=90°.
По теореме Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
АВ²=ВД²+АД²
10²=ВД²+6²
100=ВД²+36
ВД²=100-36
ВД²=64
ВД=8.
Площадь равнобедренного треугольника равна произведению половины основания треугольника на его высоту.:
S=0,5*АС*ВД=АД*ВД=6*8=48
Ответ: S=48
4) АВСД - это прямоугольник, противоположные стороны попарно параллельны и равны, все углы = 90°, диагонали между собой равны.
Площадь равнобедренного треугольника равна произведению его сторон
S=АД*СД
Рассмотрим треугольник АСД, он прямоугольный, ∠Д= 90°.
АС - гипотенуза, АД и СД - это катеты.
АС=ВД=6 см
∠А=30°
косинус угла - это отношение прилежащего катета к гипотенузе:
сos∠А= сos 30°=АД/АС=АД/6, отсюда
АД=6*сos 30°=6*√3/2=3√3синус угла - это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
sin ∠А=sin 30°=СД/АС=СД/6, отсюда
СД=6*sin 30°=6*1/2=3
Теперь найдем площадь
S=АД*СД=3√3 * 3=9√3
Ответ:S=9√3
5) трапеция АВСД - прямоугольная, поскольку ∠А=∠В=90°.
Площадь трапеции равна произведению полусумме оснований на высоту.
Опустим с вершины С на сторону АД высоту СК
Площадь прямоугольной трапеции ABCD:
S=0,5*(ВС+АД)*СК
Поскольку наша трапеция прямоугольная, то высота СК ║АВ, а это значит, что АВСК - это прямоугольник, а значит ВС=АК=8 см.
АД=АК+ДК
15=8+ДК
ДК=15-8
ДК=7 см
Рассмотрим треугольник КСД, он прямоугольный, ∠К= 90°.
АД - гипотенуза, ДК и СК - это катеты.
ДК=7 см
∠Д=45°
тангенс угла - это отношение противолежащего катета к прилежащему:
tg∠А= tg45°= СК/ДК=СК/7, отсюда
катет СК=7* tg45°=7*1=7 см
Теперь найдем площадь:
S=0,5*(ВС+АД)*СК=0,5*(8+15)*7=0,5*23*7=80,5 см²