дано: треугольник ABC, AB=BC (см. рис. ), M,N и D-точки касания сторон и вписанной окружности; АМ=5 см, МВ=8 см. Найдите: а) периметр треугольника АВС; б) радиус вписанной окружности
Ответы
Рассмотрим треугольники АМО и АDО:
Оба они являются прямоугольными: угол АМО и угол АDО прямые, поскольку стороны треугольника АВС являются касательными к радиусам вписанной окружности, проведённым из центра в точки касания (по условию это точки M, N, D).
MO=DO=r, АО является их общей гипотенузой.
Следовательно ΔАМО=ΔАDО по первому признаку равенства прямоугольных треугольников (равенство катета и гипотенузы).
Значит АМ=АD=5 cм.
Отрезок BD является одновременно медианой, биссектриссой и высотой, значит
AD=CD=5 cм ⇒ AС=10 см
АВ=ВС=5+8=13 см
P=10+13+13=36 cм.
радиус вписанной окружности определяется из соотношения:
r=S/p - где S- площадь, а р- полупериметр треугольника, р=Р/2
чтобы найти площадь S найдём высоту BD:
BD=√(AB²-AD²=√(169-25)=√144=12 cм
SΔABC=1/2*АС*BD=1/2*10*12=60 cм²
r= S/p=60/18=10/3=3целых и 1/3 см
Ответ: Р=36 см
r=3целых и 1/3 см
P.S. я надеюсь, ты не забудешь отметить это как "Лучшее решение"?!.. ;)
