Question

найдите наибалшее значение функции

 

$<var>f(x)=5-2sin^4x-2cos^4x</var>$

Answer 1

Преобразуем данную функцию:

$<var>f(x) =5-2(sin^4x+cos^4x)=</var>$ 

$<var>=5-2(sin^4x+2cos^2xsin^2x+cos^4x)+4cos^2xsin^2x=</var>$ 

$<var>=5-2(sin^2x+cos^2x)^2+sin^22x=5-2+sin^22x=</var>$ 

$<var>=3+sin^22x=3+\frac{1-cos4x}{2}=\frac{7-cos4x}{2}.</var>$

Оценим последнюю дробь: 

 

 Т.к. -1<= cos4x <= 1, то и -1 <= -cos4x <= 1, тогда 6 <= 7-cos4x <= 8.

наконец,$<var>3\leq\frac{7-cos4x}{2}\leq4</var>$ 

 

 Значит, 4 - наибольшее значение данной функции.