ПЛИИЗЗ ПОМАГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА !!!!) Если можно, с рисунком, а то не фига не понимаю (( Основание пирамиды - равнобедренный треугольник с основанием а и углом при основании а. Все двугранные углы при основании пирамиды равны БЕТА. а) докажите, что высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в ее основание. б) докажите, что проекции на плоскость основания высот боковых граней, проведенных из вершины пирамиды, равны, и найдите их длину.
Ответы
Высота боковой грани называется "апофема".
Линейный угол двугранного угла между боковой гранью и основанием - это угол между апофемой и её проекцией на основание. Если рассмотреть все три треугольника, образованных апофемой любой из граней, её проекцией и высотой пирамиды, то все эти прямоугольные треугольники равны - у них есть общий катет (высота пирамиды) и одинаковые противолежащие острые углы. Это означает, что все апофемы равны между собой, а также - что равны все проекции апофем на основание.
Поскольку все проекции апофем равны, то проекция вершины пирамиды РАВНОУДАЛЕНА от сторон треугольника в основании, то есть это - центр вписанной в основание окружности. То есть доказаны оба пункта.
(на самом деле, если взять ЛЮБУЮ пирамиду - с любым числом граней, и потребовать ТОЛЬКО ОДНО - что все боковые грани одинаково наклонены к основанию, то это автоматически означает, что 1. в МНОГОУГОЛЬНИК в основании МОЖНО вписать окружность, и 2. вершина пирамиды проектируется в центр этой окружности. Все, что дополнительно требуется - чтобы многоугольник в основании был выпуклым.)
Остается вычислить радиус вписанной в основание окружности (который, как было показано, и есть - проекция апофемы).
В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с основанием а и углом при основании α. Поскольку центр вписанной в такой треугольник окружности лежит на пересечении биссектрисы острого угла α и высоты-медианы-биссектрисы угла при вершине, то для радиуса вписанной окружности сразу можно записать соотношение
r = (a/2)*tg(α/2).
Это - ответ. :)
Я там картинку добавил.
Треугольники DOM, DON и DOK равны. О - проекция вершины D на плоскость АВС, через DO проводится плоскость перпендикулярно АВ, поэтому DM и OM - перпендикуляры к АВ, угол DMO - линейный угол двугранного угла. Треугольники равны, потому что задано, что углы DMO, DKO и DNO равны, а DO - общий катет.
Поэтому О равноудалена от сторон, ОК = r.
Дальше, угол ОСК = α/2, СК = а/2, откуда r = (a/2)*tg(α/2).
