Question

Найти значение функции $5^{log_5*(X+4)-log_frac{1}{5}*(frac{X^3-9X}{X+4})}$ в точке максимума.

Answer 1

По просьбе Nelle987

$displaystyle y=5^{log_5{(x+4)-log_{ frac{1}{5}}( frac{x^3-9x}{x+4})}}}$

ОДЗ:

$displaystyle left { {{ frac{x^3-9x}{x+4} textgreater 0 } atop {x+4 textgreater 0}} right.$

 $left { {{x textgreater -4} atop {x:(-oo;-4)(-3;0)(3;+oo)}} right. x:(-3;0)(3;+oo)$

преобразуем показатель степени

$displaystyle log_5(x+4)-log_{5^{-1}}( frac{x^3-9x}{x+4})=log_5(x+4)+log_5( frac{x^3-9x}{x+4})=$

$displaystyle =log_5(x+4)* frac{x^3-9x}{x+4}=log_5(x^3-9x)$

$displaystyle 5^{log_5(x^3-9x)}=x^3-9x$

Найдем производную

$displaystyle (x^3-9x)`=3x^2-9$

Найдем критические точки

$displaystyle 3x^2-9=0 3x^2=9 x^2=3 x_1= sqrt{3} x_2=- sqrt{3}$


___+_________-___________+____
            -√3                    √3

Значит функция  на промежутке (-3;0) имеет максимум х=-√3
а на промежутке (3;+oo) , бесконечно возрастает

А значит найти максимум функции на всей области  определения невозможно

значение в y(-√3)=6√3