Question

Люди добрые помогите пожалуйста решить данную задачу:(

 

4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (сделать чертеж): 

а) y = 4–x2,   y = x2–2y; 

б) p= cos^(2)ф

Answer 1

а) Наверно, все-таки y=x^2-2x?

"Поднимем" график на 1 вверх для того, чтобы не задумываться о том, что область делится на 2 части осью Ох. Тогда у нас появятся 2 параболы 5-x^2 и x^2-2x+1. (На самом деле, в интеграле будет фигурировать только разность, и все добавки сократятся)

$<var>S=\int_{-1}^2((5-x^2)-(x^2-2x+1))\,dx=\int_{-1}^2(-2x^2+2x+4)\,dx=\\=(-\frac23x^3+x^2+4x)_{-1}^2=-\frac23\cdot9+3+12=9</var>$

б) $<var>S=\int_{0}^{2\pi}\frac{\rho^2}2\,d\varphi=\frac12\int_0^{2\pi}\cos^4\varphi\,d\varphi=\dots\\ \int \cos^4x\,dx=\frac14\int(1+\cos2x)^2\,dx=\frac14(x+\sin2x+\int \cos^22x\,dx)=\\=\frac14(x+\sin2x+\frac12x+\frac18\sin4x)+C\\ S=\dots=\frac12\cdot\frac38\cdot2\pi=\frac{3\pi}8</var>$