Question

При каком значении а многочлен х^3 + ах + 1 при делении
на двучлен х - а дает остаток, равный 3?

Answer 1

$frac{x^3+ax+1}{x-a}= frac{x*x^2+ax+1}{x-a}= frac{(x-a+a)*x^2+ax+1}{x-a}= frac{(x-a)x^2+ax^2+ax+1}{x-a}=$

$= frac{(x-a)x^2}{x-a}+ frac{ax^2+ax+1}{x-a} =x^2+ frac{x*ax+ax+1}{x-a} =x^2+ frac{(x-a+a)*ax+ax+1}{x-a}=$

$=x^2+ frac{ax(x-a)+a^2x+ax+1}{x-a}= =x^2+ax+ frac{a^2x+ax+1}{x-a}=$

$=x^2+ax+ frac{(a^2+a)x+1}{x-a} =x^2+ax+ frac{(a^2+a)(x-a+a)+1}{x-a}=$

$=x^2+ax+ frac{(a^2+a)(x-a)+a(a^2+a)+1}{x-a} =x^2+ax+a^2+a+ frac{a(a^2+a)+1}{x-a}=$

$=x^2+ax+a^2+a+ frac{a^3+a^2+1}{x-a}$

Остаток: $a^3+a^2+1=3$
$a^3+a^2-2=0$
$a^3+2a^2+2a-a^2-2a-2=0$
$a(a^2+2a+2)-(a^2+2a+2)=0$
$(a-1)(a^2+2a+2)=0$

$a-1=0$ или $a^2+2a+2=0$ (действительных корней не имеет, отрицательный дискриминант)

$a=1$

Ответ: $1$