Question

Решите уравнение:

cos 2x +3sin2x=3

Кто напишит подробное решение, тому лучший ответ!

Answer 1

cos2x+3sin2x=3

Попробуем открыть по формуле cos2x=cos^2x-sin^2x подставим

  cos^2x-sin^2x+3sin2x=3

опять    sin2x откроем по формуле  sin2x=2sinx*cosx подставим

 cos^2x-sin^2x +3(2sinx*cosx)=3

cos^2x-sin^2x+6sinx*cosx =3

вспомним что cos^2x=1-sin^2x  подставим

1-sin^2x-sin^2x+6V(1-sin^2x)*sinx=3

1-2sin^2x+6V(1-sin^2x)*sinx =3

-2sin^2x+6V(1-sin^2x) *sinx=2

поделим на 2

-sin^2x+3V(1-sin^2x)*sinx=1  

3V(1-sin^2x)*sinx=1+sin^2x

можно заменить sinx=t тогда

3V(1-t^2)t=1+t^2

возмедем обе части в квадрат

9t^2(1-t^2)=1+2t^2+t^4

9t^2-9t^4=1+2t^2+t^4

t^4+9t^4+2t^2-9t^2+1 =0

10t^4-7t^2+1=0

биквдатратное уравнение опять заменим на t^2=a

10a^2-7a+1=0

D=49-4*10*1=V9=3

a1=7+3/20=1/2

a2=7-3/20=1/5

a=t^2

t^2=1/2

t=V2/2

t=1/5

t=1/V5

t=sinx

sinx=V2/2

x=pi/4

 sinx=1/V5

x=-1arcsin(1/V5)+2pi*k