Question

f(x) = x³ – 2x² + x . Решить по этому плану .

Answer 1

$f(x)= x^3 -2x^2 + x$

1. Область определения функции - все действительные числа: $xin R$

2. Исследование функции на четность:
$f(-x)=(-x)^3 -2(-x)^2 + (-x)=-x^3 -2x^2 -x$
Функция ни четная, ни нечетная (общего вида)

3. Точки пересечения с осями координат:
$x^3 -2x^2 + x=0 \ x(x^2 -2x + 1)=0 \ x(x -1)^2=0 \ left[begin{array}{l} x=0 \ x-1=0 end{array} Rightarrow left[begin{array}{l} x=0 \ x=1 end{array}$
Точки пересечения с осью х: (0; 0); (1; 0)
$f(0)=0^3-2cdot0^2+0=0$
Точка пересечения с осью y: (0; 0)

4. Исследование функции на монотонность и экстремумы:
$f'(x)= 3x^2 -4x + 1 \ f'(x)=0: \ 3x^2 -4x + 1=0 \ D_1=(-2)^2-3cdot1=4-3=1 \ x= frac{2+1}{3}=1 \ x= frac{2-1}{3}= frac{1}{3}$
Точка максимума: $x_{max}= frac{1}{3}$; максимум: $y_{max}=( frac{1}{3} )^3-2cdot( frac{1}{3} )^2+ frac{1}{3} = frac{1}{27}- frac{2}{9}+ frac{1}{3} = frac{1}{27}- frac{6}{27}+ frac{9}{27} = frac{4}{27}$
Точка минимума: $x_{min}= 1$; минимум: $y_{min}=1^3-2cdot1^2+1=1-2+1=0$
При $xin (infty; frac{1}{3} ]cup[1;+infty)$ функция возрастает
При $xin[ frac{1}{3} ;1]$ функция убывает

5. Исследование функции на выпуклость/вогнутость:
$f''(x)= 6x -4 \ f''(x)=0: \ 6x-4=0 \ 6x=4 \ x= frac{2}{3}$
Точка перегиба: $x= frac{2}{3}$
Ордината точки перегиба: $y=( frac{2}{3} )^3-2cdot ( frac{2}{3} )^2+ frac{2}{3} = frac{8}{27} - frac{8}{9} + frac{2}{3} = frac{8}{27} - frac{24}{27} + frac{18}{27} = frac{2}{27}$
При $xin(-infty; frac{2}{3} ]$ функция вогнута
При $xin[ frac{2}{3} ;+infty)$ функция выпукла

6. Построение графика:
Имеющиеся точки: (0; 0); (1; 0); (1/3; 4/27); (2/3; 2/27)
Просчитаем еще пару точек для определения крутизны графика:
$f(-1)=(-1)^3-2cdot(-1)^2+(-1)=-1-2-1=-4 \ f(-2)=(-2)^3-2cdot(-2)^2+(-2)=-8-8-2=-18 \ f(2)=2^3-2cdot2^2+2=8-8+2=2 \ f(3)=3^3-2cdot3^2+3=27-18+3=12$