Question

Помогите пожалуйста!!!
Вычислить интегралы,преобразуя подынтегральные функции.2 и 4 примеры

Answer 1

$2); ; int _{frac{pi}{6}}^{frac{pi}{3}}(cos^2(x+frac{pi}{3})-sin^2(x+frac{pi}{3}))dx=\\=[; ; cos^2 alpha -sin^2 alpha =cos2 alpha ; ]= intlimits^{pi /3}_{pi /6} {cos(2x+frac{2pi}{3})} , dx =\\=frac{1}{2}cdot sin(2x+frac{2pi}{3}), |_{pi /6}^{pi /3}=frac{1}{2}cdot (sinfrac{4pi}{3}-sinpi )=\\=frac{1}{2}cdot (sin(pi +frac{pi}{3})-0)=-frac{1}{2}cdot sinfrac{pi}{3}=-frac{sqrt3}{4}$

$4); ; intlimits _{pi /2}^{pi } cosxcdot cos2x , dx =\\=[; ; cos2x=1-2sin^2x; ]=int limits _{pi /2}^{pi } (1-2sin^2x)cdot cosx, dx=\\=int limits _{pi /2}^{pi }cosx, dx-2int limits _{pi /2}^{pi }sin^2xcdot underbrace {cosx, dx}_{d(sinx)}=\\=sinx|_{pi /2}^{pi }-2cdot frac{sin^3x}{3}|_{pi /2}^{pi }=sinpi -sinfrac{pi}{2}-frac{2}{3}cdot (sin^3pi -sin^3frac{pi}{3})=\\=-1-frac{2}{3}cdot (0-frac{3sqrt3}{8})=-1+frac{sqrt3}{4}$