Question

F(x) = x^4 – 2x² - 8 . Решить по этому плану .

Answer 1

$f(x)=x^4-2x^2-8$

1. Область определения - все действительные числа: $xin R$

2. Исследование функции на четность:
$f(-x)=(-x)^4-2(-x)^2-8=x^4-2x^2-8=f(x)$ - функция четная

3. Точки пересечения с осями координат:
$x^4 - 2x^2 - 8=0 \ D_1=(-1)^2-1cdot(-8)=1+8=9 \ x^2=1+3=4; x=pm2 \ x^2 neq 1-3=-2 textless 0$
Точки пересечения с осью х: (2; 0); (-2; 0)
$f(0)=0^4-2cdot0^2-8=-8$
Точка пересечения с осью y: (0; -8)

4. Исследование функции на монотонность и экстремумы:
$f'(x)=4x^3-4x \ f'(x)=0: \ 4x^3-4x=0 \ 4x(x^2-1)=0 \ 4x(x-1)(x+1)=0$
Точка минимума $x_{min}=-1$; минимум $y_{min}=(-1)^4-2cdot(-1)^2-8=1-2-8=-9$
Точка максимума $x_{max}=0$; максимум: $y_{max}=-8$
Точка минимума $x_{min}=1$; минимум $y_{min}=1^4-2cdot1^2-8=1-2-8=-9$
При $xin(-infty;-1]cup[0;1]$ функция убывает
При $xin [-1;0]cup[1;+infty)$ функция возрастает

5. Исследование функции на выпуклость/вогнутость:
$f''(x)=12x^2-4 \ f''(x)=0: \ 12x^2-4=0 \ 3x^2-1=0 \ x^2= frac{1}{3} \ x=pm frac{ sqrt{3} }{3}$
Точки перегиба: $x=- frac{ sqrt{3} }{3}$ и $x= frac{ sqrt{3} }{3}$
Ординаты этих точек: $y=( frac{1}{3} )^2-2cdot frac{1}{3} -8= frac{1}{9} - frac{2}{3} -8= frac{1}{9} - frac{6}{9} -8=- frac{5}{9} -8=-8 frac{5}{9}$
При $xin(-infty; -frac{ sqrt{3} }{3}]cup[frac{ sqrt{3} }{3};+infty)$ функция выпукла
При $xin [- frac{ sqrt{3} }{3}; frac{ sqrt{3} }{3}]$ функция вогнута

6. Построение графика:
Имеющиеся точки: (2; 0); (-2; 0); (0; -8); (-1; -9); (1; -9); $(- frac{ sqrt{3} }{3}; -8 frac{5}{9})$; $( frac{ sqrt{3} }{3}; -8 frac{5}{9})$
Просчитаем еще две точки:
$f(- frac{3}{2} )=f( frac{3}{2} )=( frac{3}{2} )^4-2cdot ( frac{3}{2} )^2-8= frac{81}{16} -2cdot frac{9}{4} -8= \ = frac{81}{16} - frac{18}{4} -8=frac{81}{16} - frac{72}{16} - frac{128}{16} = - frac{119}{16} =-7 frac{7}{16}$
Достаточно построить график в правой полуплоскости и отобразить его в левую, так как функция четная