Question

Существует ли такие три действительные числа, что если их поставить в одном порядке в качестве коэффициентов квадратного трехчлена, то он будет иметь два различных положительных корня, а если в другом порядке, то два различных отрицательных корня?

Answer 1

Положим что такое возможно. Тк мы имеем права в любой итерации перемены местами коэффициентов ,при поиске корней поделить обе части уравнения на любой его -коэффициент,(Тк он константа),то Можно принять первый член произвольно равным единице.(надеюсь понятно) Тогда уравнение примет вид: x^2+bx+c=0. По теореме Виета когда два положительных решения,очевидно,что. b=-(x1+x2)<0 c=x1*x2>0 То есть мы имеем : 1>0, b<0,c>0 На какой то итерации перестановок получим два отрицательных корня. Тогда произведение его корней также положительно,а вот сумма корней станет отрицательной.(то второй коэффициент должен быть положительным!) Тогда кандидатом на второй коэффициент могут быть либо 1 либо с. 1 быть не может,тк произведение корней равно отношению последнего и первого члена(теорема Виета) ,но b и c разных знаков,то их отношение отрицательно,что противоречит положительности произведения корней. Аналогично с не может быть вторым членом,тк b<0 ;1>0. То есть мы пришли к противоречит. То есть таких a,b,c не существует