Question

Через точку пересечения диагоналей квадрата проведены 2 взаимно перпендикулярные прямые. Доказать, что точки пересечения этих прямых со сторонами квадрата, являются вершинами еще одного квадрата.Через точку пересечения диагоналей квадрата проведены 2 взаимно перпендикулярные прямые.

Answer 1

Диагонали АС и BD - равны и перпендикулярны. 
Продолжаем прямые  OF и OE до пересечения с противоположными сторонами и получаем перпендикулярные прямые FK и ME.
Получаем секущую прямую между двумя параллельными сторонами.
Четыре треугольника - равны - AFM, BEF, CKE, DMK.
Значит равны и их гипотенузы - стороны четырехугольника FEKM.
Получили фигуру  - стороны равны, диагонали и равны и перпендикулярны -  фигура = квадрат.