Question

1.Найдите область определения функции
2.Решите уравнение
3.Решите неравенство
4.Решите уравнение
5.Решите уравнение
6.решите систему уравнений
7.Доведите что число есть целым

Answer 1

1. $y=log_7(2x-9)$
Подлогарифмическое выражение принимает положительное значение.
2x-9 > 0
x > 4.5

Область определения функции: $D(y) = (4.5;+infty)$

2. 1) $log_8x= frac{1}{3}$
ОДЗ:$x textgreater 0$
Правую часть уравнения запишем по свойству логарифмов$log_aa^b=b$, тоесть, в нашем случае так будет:

$log_8x=log_88^{frac{1}{3}}$
Основания логарифмов одинаковы, значит имеем:
$x=8^{frac{1}{3}}=(2^3)^{frac{1}{3}}=2$

Ответ: $2.$

2) $log_{11}(x^2-8x+25)=log_{11}10$
ОДЗ: $x^2-8x+25 textgreater 0$
очевидно, что ОДЗ у нас будет принимать при любых х, т.е. представим левую часть как $(x-4)^2+9 textgreater 0$, отсюда следует, что при всех значениях х неравенство верное.

Основания одинаковы, значит по свойство логарифмов
$x^2-8x+25=10\ x^2-8x+15=0$

По т. Виета: $x_1=3;,,, x_2=5$

Ответ: $3;5.$

3. $log_3(x+2) leq log_34$
ОДЗ : $x+2 textgreater 0$ отсюда следует, что $x textgreater -2$
Так как основания $3 textgreater 1$, функция возрастающая, а значит знак неравенства не меняется, тоесть:
 $x+2 leq 4\ x leq 2$

C учетом ОДЗ имеем общее решение $-2 textless x leq 2$

Ответ: $x in (-2;2]$

4. 1)$log_4(x+3)+log_4(x+15)=3$
ОДЗ: $begin{cases} & text{ } x+3 textgreater 0 \ & text{ } x+15 textgreater 0 end{cases}Rightarrowbegin{cases} & text{ } x textgreater -3 \ & text{ } x textgreater -15 end{cases}Rightarrowboxed{x textgreater -3}$
По свойству логарифмов: $log_ab+log_ac=log_a(bcdot c)$

$log_4((x+3)(x+15))=3\ log_4((x+3)(x+15))=log_44^3\ (x+3)(x+15)=4^3\ x^2+18x+45=64\ x^2+18x-19=0$
По т. Виета:
 $x_1=-9\ x_2=1$

Корень $x_1=-19$ не удовлетворяет ОДЗ

Ответ: $1.$

2) $2log_2^2x+3log_2x^3=5$
ОДЗ: $x textgreater 0$

В левой части уравнения второе слагаемое перепишем по свойству логарифмов $log_ab^c=clog_ab$, тоесть:
$2log_2^2x+3cdot 3log_2x=5\ 2log_2^2x+9log_2x=5$

Пусть $log_2x=t,,(tin R)$, тогда
$2t^2+9t-5=0$
Решаем обычное квадратное уравнение
$D=b^2-4ac=9^2-4cdot2cdot(-5)=121;,, sqrt{D} =11\ t_1= frac{-b+ sqrt{D} }{2a} = frac{-9+11}{2cdot2} =-0.5;\ t_2= frac{-b- sqrt{D} }{2a} = frac{-9-11}{2cdot2} =-5$

Обратная замена:
$log_2x=-0.5;,,,Rightarrow,,,x=2^{-0.5}= frac{1}{sqrt{2}} \ log_2x=-5;,,,Rightarrow,,, x=2^{-5}= frac{1}{32}$

Ответ: $frac{1}{sqrt{2}};frac{1}{32}$

5. $lg^2x-lg x-2 textgreater 0$
ОДЗ: $x textgreater 0$
Приравниваем к нулю.

$lg^2x-lg x-2=0$
Пусть $lg x=t$, тогда получаем
$t^2-t-2=0$
По т. Виета: 
$t_1=2;,,t_2=-1$

Обратная замена:
$lg x=2\ lg x=lg 10^2\ x_1=100;,,, lg x= -1\ lg x=lg 10^{-1}\ x=0.1$

___+___(0.1)__-____(100)____+_____

$x in (-infty;0.1)cup(100;+infty)$

С учетом ОДЗ, общее решение: $x in (0;0.1)cup(100;+infty)$

Ответ: $x in (0;0.1)cup(100;+infty)$

6. $begin{cases} & text{ } log_yx+9log_xy=6 \ & text{ } xy=16 end{cases}$
ОДЗ: $begin{cases} & text{ } xne 1 \ & text{ } yne1 \ & text{ } y textgreater 0 \ & text{ } x textgreater 0 end{cases}$

В (1) уравнение, второе слагаемое перейдем к новому основанию
  $begin{cases} & text{ } log_yx+9cdot frac{log_yy}{log_yx}=6 \ & text{ } xy= 16 end{cases}Rightarrowbegin{cases} & text{ } log_y frac{16}{y}+9cdot frac{1}{log_y frac{16}{y} } =6 \ & text{ } x= frac{16}{y} end{cases}$
По свойству логарифмов: $log_ab-log_ac=log_a frac{b}{c}$

$log_y16-log_yy+9cdot frac{1}{log_y16-log_yy} =6\ log_y16-1+9cdot frac{1}{log_y16-1}=6$
Пусть $log_y16=t$, получаем
$t+ frac{9}{t-1}=7|cdot(t-1)\ t^2-t+9=7t-7\ t^2-8t+16=0\ (t-4)^2=0\ t=4$

Обратная замена:
$log_y16=4\ log_y16=log_yy^4\ y^4=16\ y^4=2^4\ y=2$
Итак, нашли значение у, теперь осталось найти х

$x= frac{16}{y}=8$

Ответ: $(8;2)$


7. $log_{8+3 sqrt{7} }(8-3 sqrt{7} ),,,boxed{=}$
Домножим на сопряженное($8+3 sqrt{7}$)
$boxed{=},,log_{8+3 sqrt{7} } frac{8^2-(3 sqrt{7})^2 }{8+3 sqrt{7} } =log_{8+3 sqrt{7} } frac{64-63}{8+3 sqrt{7} } =log_{8+3 sqrt{7} }(8+3 sqrt{7} )^{-1}=-1$

Что и требовалось доказать