Question

Помогите с логарифмами , 1 задание вычислите ( все) и записать как это получилось

Answer 1

$1)quad log_{a}a=1; ,; log_{a}1=0; ,; log_{a}a^5=5cdot log_{a}a=5; ,\\log_{a}frac{1}{a}=log_{a}a^{-1}=-1cdot log_{a}a=-1; ,\\log_{a}sqrt{a}=log_{a}a^{frac{1}{2}}=frac{1}{2}cdot log_{a}a=frac{1}{2} \\log_{a}sqrt[5]{a^3}=log_{a}a^{frac{3}{5}}=frac{3}{5}cdot log_{a}a=frac{3}{5}\\2)quad log_{frac{1}{2}}frac{1}{4}=log_{2^{-1}}2^{-2}=-2cdot frac{1}{-1}cdot log_22=2\\log_{frac{1}{2}}2=-log_22=-1\\log_{frac{1}{2}}1=0\\log_{frac{1}{2}}8=-log_22^3=-3cdot log_22=-3$

$log_{frac{1}{2}}sqrt2=-log_22^{frac{1}{2}}=-frac{1}{2}log_22=-frac{1}{2}\\log_{frac{1}{2}}frac{sqrt2}{2}=-log_22^{-frac{1}{2}}=frac{1}{2}\\3)quad log_327=log_33^3=3cdot log_33=3\\log_3frac{1}{9}=log_33^{-2}=-2\\log_9frac{1}{27}=log_{3^2}3^{-3}=frac{1}{2}cdot 3cdot log_33=frac{3}{2}\\log_2sqrt2=log_22^{frac{1}{2}}=frac{1}{2}\\log_2frac{1}{sqrt2}=log_22^{-frac{1}{2}}=-frac{1}{2}\\log_{sqrt2}4=log_{2^{frac{1}{2}}}2^2=frac{1}{1/2}cdot 2cdot log_22=4$

$log_{sqrt5}sqrt[4]{125}=log_{5^{frac{1}{2}}}5^{frac{3}{4}}=frac{1}{1/2}cdot frac{3}{4}cdot log_55=frac{3}{2}\\\P.S.quad log_{a}{x^{k}}=kcdot log_{a}x; ;; ; ; log_{a^{k}}x=frac{1}{k}cdot log_{a}x\\(a>0,; ane 1; ,; x>0)$