Question

найдите наименьшее значение функции у=√х^2-4х+8

Answer 1

1. Выделение полного квадрата:
$y= sqrt{(x^2-4x+4)+4} = sqrt{(x-2)^2+4};$, очевидно, что наименьшее значение функции достигается, когда значение квадрата под корнем 0 (там х=2), тогда $y_{min}= sqrt{4}=2$
2. Стандартно через производную:
$y'= frac{1}{2 sqrt{x^2-4x+8} }*(x^2-4x+8)'= frac{2x-4}{2 sqrt{x^2-4x+8} }= frac{x-2}{ sqrt{x^2-4x+8} };$
Видно, что  когда x>2, y'>0 (функция возрастает) и когда x<2 y'<0 - функция убывает, т.е. наименьшее значение достигается при x=2;
$y= sqrt{2^2-4*2+8}= sqrt{4} =2$