Question

Найдите все значения х, при каждом из которых касательная к графику функции у=cos7x+7cosx в точках с абсциссой х параллельна касательной к этому же графику в точке с абсциссой пи/6

Answer 1

Геометрический смысл производной. Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке, то есть:

                                         $k=f'(x_0)$

Предварительно вычисляем производную функции первого порядка.

$y'=\left(\cos 7x+7\cos x\right)'=-7\sin 7x-7\sin x=-7(\sin 7x+\sin x)$

Производная функции в точке $x_0=\frac{\pi}{6}$

$y'(\frac{\pi}{6})=-7\left(\sin \frac{7\pi}{6}+\sin \frac{\pi}{6}\right)=-7\cdot \left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)=0$

То есть, угловой  коэффициент равен 0. Тогда для нахождения значения х, при каждом из которых касательная к данной функции в точках с абсциссой х параллельна касательной в точке $x=\frac{\pi}{6}$, нужно решить следующее уравнение:

                             $-7\left(\sin 7x+\sin x\right)=0\\ ~~-14\sin 4x\cos 3x=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен 0.

                    $\left[\begin{array}{ccc}\sin 4x=0\\ \\ \cos 3x=0\end{array}\right~~~\Leftrightarrow~~~\left[\begin{array}{ccc}x_1=\dfrac{\pi k}{4},k \in \mathbb{Z}\\ \\ x_2=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi n}{3},n \in \mathbb{Z}\end{array}\right$