Question

Стационарный искусственный спутник Земли движется в плоскости экватора по круговой орбите так, что все время находится над одной и той же точкой земной поверхности. Определите орбитальную скорость спутника и высоту его орбиты над поверхностью Земли. Радиус Земли 6370 км.

Необходимо максимально подробное решение с сопроводительным рисунком.

Answer 1

Хорошо понятое условие задачи, на половину решённая задача! 

Начнём со слов: Стационарный искусственный спутник Земли, в плоскости экватора - думаю ясно что, спутник неподвижен относительно Земли и находится в точке над экватором.
Далее: Движется по круговой орбите так, что все время находится над одной и той же точкой земной поверхности - это означает что, линейная скорость вращения спутника по орбите, должна равна линейной скорости вращения Земли вокруг своей оси.
Определите орбитальную скорость спутника и высоту его орбиты над поверхностью Земли? Дальше математика:

Дано: 
$T=24 iota| =86400 c\ R_Im=6370 _K_M=6370000 _M$
Найти:
$vartheta_c= ? h= ?$
Решение:
Запишем закон всемирного тяготения: относительно двух тел:
Спутник - Земля
$F=Gcdot frac{m_ccdot M}{R^2_c}$
$F=mcdot a$
$m_ccdot a=Gcdot frac{m_ccdot M}{R^2_c}$
$a= frac{vartheta^2}{R_c}$
$frac{vartheta^2}{R_c}=Gcdot frac{M}{R^2_c} rightarrow vartheta^2= frac{Gcdot M}{R^2_c}$
$vartheta= frac{2cdot pi cdot R_c}{T}$
$(frac{2cdot pi cdot R_c}{T})^2=frac{Gcdot M}{R^2_c} rightarrow frac{4cdot pi^2 cdot R_c}{T^2}=frac{Gcdot M}{R^2_c} rightarrow 4cdot pi^2 cdot R^3_c=T^2cdot Gcdot M$
$R_c= sqrt[3]{frac{T^2cdot Gcdot M}{4cdot pi^2} } = sqrt[3]{frac{86400^2cdot 6,67cdot10^{-11}cdot5,97cdot 10^{24}}{4cdot 3,14^2}} = 42241187,7 (_M)$
Это всё определяли радиус орбиты по которой движется спутник. Сейчас определяем его скорость:
$vartheta= frac{2cdot pi cdot R_c}{T}= frac{2cdot3,14cdot42241187,7}{86400} =3070,3 ( frac{_M}{c} )$
Высота на которой находится спутник от Земли:
$h=R-R_Im=42241187,7-6370000=35871187,7 (_M)$