Question

Докажите, что если натуральные числа m и n взаимно простые, то наибольший общий делитель чисел m+n і m^2+n^2 равен 1 или 2.

Answer 1

Пусть d=НОД(m+n,m²+n²). Т.е. m+n=ds и m²+n²=dr, при некоторых взаимно простых s и r. Тогда НОД(d,n)=1 и НОД(d,m)=1, т.к. если какое-то простое число p делит одновременно n и d, то из соотношения m+n=ds следует, что p делит и m, т.е. тогда m и n были бы не взаимно просты. Противоречие. Аналогично получается, что d и n обязательно взаимно просты. Итак, получаем 2mn=(m+n)²-m²-n²=d²s²-dr=d(ds²-r). Отсюда следует что 2mn делится на d, но т.к. выше доказали, что m и n взаимно просты с d, то отсюда следует что 2 делится на d. А это и значит, что либо d=1, либо d=2.