Question

вычислите пожалуйста (1-i)^8

Answer 1

$z=1-i=1+(-1)*i$, $z^8-?$

Ход решения: 1) переходим в тригонометрическую форму
                        2) используем формулу Муавра

запишем наше комплексное число в тригонометрическом виде:

$|z|=|1-i|=sqrt{1^2+(-1)^2}=sqrt{2}$

$arg(z)=arg(1-i)=arctg(frac{-1}{1})=arctg(-1)=-frac{pi}{4}$

тогда: $z=|z|*(cos(arg(z))+i*sin(arg(z)))=$

$=sqrt{2}*(cos(-frac{pi}{4})+i*sin(-frac{pi}{4})) =sqrt{2}*(frac{sqrt{2}}{2}+i*(-frac{sqrt{2}}{2}))=$

$=1+i*(-1)=1-i$

была сделана проверка, а теперь:
$z^8=[sqrt{2}*(cos(-frac{pi}{4})+i*sin(-frac{pi}{4}))]^8=2^4*(cos(-frac{pi}{4})+i*sin(-frac{pi}{4}))$

$=2^4*(cos(-8*frac{pi}{4})+i*sin(-8*frac{pi}{4}))=$

$=2^4*(cos(-2pi})+i*sin(-2pi))=2^4*(1-i*0)=2^4$