Question

помогите найти решение задачи Коши

Answer 1

$xy'+2y=frac{1}{x}$

$y'+frac{2}{x}y=frac{1}{x^2}$

решим однородное уравнение 

$y'+ frac{2}{x}y=0$

$frac{dy}{y}=-frac{2}{x}dx$

$ln|y|=- intlimits^x_{x_0} {frac{2}{x}} , dx+ln|C|$

$ln|y|=-2ln|x|+ln|C|$

потенцируем и находим:
$y(x)=frac{C}{x^2}$

применяем метод вариации константы:
 $y(x)=frac{C(x)}{x^2}$

$(frac{C'(x)}{x^2}-frac{2C(x)}{x^3})+frac{2C(x)}{x^3}=frac{1}{x^2}$

откуда:
$C'(x)=1$

интегрируем:
$C(x)=x+C$

$y(x)=frac{x+C}{x^2}=frac{1}{x}+frac{C}{x^2}$

теперь:
$y(3)=1$

$frac{1}{3}+frac{C}{3^2}=1$

$C=6$

Ответ: $y(x)=frac{1}{x}+frac{6}{x^2}$