Question

Решите уровнение:

а) $<var> \sqrt{3x+1}=x-1</var>$

б)$<var>9^{x+1}+26*3^{x}-3=0</var>$

Answer 1

а) В первом задании желательно сначала найти ОДЗ.

$<var>\left \{ {{3x+1\geqslant0} \atop {x-1\geqslant0}} \right.</var>$

 

$<var>\left \{ {{x\geqslant-\frac{1}{3}} \atop {x\geqslant1}} \right.</var>$

 

Значит ОДЗ $<var>x\geqslant1</var>$

 

Теперь возведем в квадрат обе части

 

$<var>3x+1=(x-1)^2</var>$

 

$<var>3x+1=x^2-2x+1</var>$

 

Сокращаем на 1 (свободный член) обе части

 

$<var>3x=x^2-2x</var>$

 

$<var>x^2-5x=0</var>$

 

х*(х-5)=0

 

$<var>x_1=0,\quad x_2=5</var>$

 

Первый ответ не удовлетворяет ОДЗ.

Остается х=5.

Ответ: х=5.

 

б) Примем за $<var>t=3^x</var>$. Заметим, что t>0. Тогда $<var>9^{x+1}=9*9^x=9*3^{2x}=9t^2</var>$

 

$<var>9t^2+26t-3=0</var>$

 

$<var>\frac{D}{4}=(\frac{26}{2})^2-9*(-3)</var>$

 

$<var>\frac{D}{4}=13^2+27</var>$

 

$<var>\frac{D}{4}=169+27</var>$

 

$<var>\frac{D}{4}=196</var>$

 

$<var>\frac{D}{4}=14^2</var>$

 

$<var>t_{1,2}=\frac{-\frac{26}{2}\pm\sqrt{\frac{D}{4}}}{9}</var>$

 

$<var>t_{1,2}=\frac{-13\pm14}{9}</var>$

 

$<var>t_1=\frac{-13-14}{9}\quad t_2=\frac{-13+14}{9}</var>$

 

$<var>t_1=-3\quad t_2=\frac{1}{9}</var>$

 

Первый ответ не подходит по ОДЗ. Второй - подходит.

 

$<var>3^x=\frac{1}{9}</var>$

 

$<var>3^x=9^{-1}</var>$

 

$<var>3^x=3^{-2}</var>$

 

х= -2

 

Ответ: х= -2