Question

В треугольнике ABC бессектриса угла А делит высоту , проведённую из вершины В, в отношении 13:12, считая от точки В. Найдите радиус окружности , описанной около треугольника АВС, если ВС=10.

Answer 1

Чтобы решить задачку надо вспомнить расширенную теорему синусов. В данном случае, так как известна сторона ВС, то лучше воспользоваться стороной ВС и углом ВАС. Синус этого угла предстоит вычислить.

 

$<var>2R=\frac{BC}{\sin\angle BAC}</var>$

 

$<var>2R=\frac{10}{\sin\angle BAC}</var>$

 

$<var>R=\frac{5}{\sin\angle BAC}</var>\quad(1)$

 

Пусть ВН - высота, проведенная к стороне АС.

АК - биссектриса угла ВАС, где К - точка пересечения биссектрисы со стороной ВС.

Точка О - пересечение высоты ВН и биссектрисы АК.

Тогда по свойству биссектрисы, делящей ВН в отношении ВО:ОН=12:13,

из прямоугольного треугольника АВН стороны АВ и АН относятся так же друг к другу.

АВ:АН=13:12.

 

Заметим,  что косинус - это отношение прилежащей стороны к гипотенузе. В данном случае

$<var>\cos\angle BAH=\frac{AH}{AB}</var>$

 

Нетрудно догадаться, что АН:АВ=12:13.

 

$<var>\cos\angle BAH=\frac{12}{13}</var>$

 

По основному тригонометрическому тождеству

$<var>\sin\angle BAH=\pm\sqrt{1-\cos^2\angle BAH}</var>$

 

$<var>\sin\angle BAH=\pm\sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^2}</var>$

 

$<var>\sin\angle BAH=\pm\sqrt{1-\frac{144}{169}}</var>$

 

$<var>\sin\angle BAH=\pm\sqrt{\frac{169-144}{169}}</var>$

 

$<var>\sin\angle BAH=\pm\sqrt{\frac{25}{169}}</var>$

 

$<var>\sin\angle BAH=\pm\frac{5}{13}}</var>$

 

Заметим, что

 

$<var>\sin\angle BAH=\sin\angle BAC</var>$

 

Выбираем положительное значение синуса. Так как угол в треугольнике всегда от 0 до 180 градусов. Подставляем в формулу (1).

$<var>R=\frac{5}{\frac{5}{13}}</var>$

$<var>R=\frac{5*13}{5}</var>$

R=13.

 

Ответ: R=13.