Question

В треугольнике АВС угол С=60градусов. На стороне АС отмечена точка Д так что угол ВДС=60градусов, а угол АВД=30градусов. Докажите, что АД=ВС. Докажите, что периметр треугольника АВС меньше пяти длин ВС.

Answer 1

По условию угол С=60°. 

Угол ВДС=60°. Из суммы углов треугольника третий угол ∆ ВДС=60°.

Треугольник ВДС - равносторонний. 

Пр условию ∠АВД=30°, ∠ДВС=60° ( найдено) --

∠АВС=30°+60°=90°.

Тогда ∠ВАД=180°-∠АВС-∠АСВ=180°-90°-60°=30°

 ∆АДВ - равнобедренный ( по равным углам при основании АВ). 

АД=ВД. 

Но ВД=ВС=ДС⇒ АД=ДС=ВС. . 

АС=АД+ДС=2 ВС. 

АС  противолежит бóльшему углу ∆ АВС ,⇒АС - наибольшая сторона этого треугольника. ⇒

АВ < АС.

Р(АВС)=АВ+АС+ВС=АВ+2ВС+ВС=АВ+3ВС

АВ<2ВС , следовательно, Р(АВС) < 5•ВС