Question

Вычислите интегралы, преобразуя подынтегральные функции:
$1) ; intlimits^frac{3pi}{8}_frac{pi}{8} {12sin(frac{pi}{8}-x)cos(frac{pi}{8}-x)} , dx$
Да, я вижу в ней формулу sin2x. В первом решении у меня получился 6, а в повторном -3.

$2) ; intlimits^frac{pi}{3}_0 ({2sin2x-1} ), dx$
Мой ответ равен:
$frac{3}{2}-frac{pi}{3}$
Если правильно, то вот в чём вопрос: в задании сказано "преобразуя подынтегральную функции". Вроде подынтегральная запись сильно напоминает какую-то формулу, но какую? Я просто интегрировал так:
$intlimits^frac{pi}{3}_0 ({2sin2x-1} ), dx=-2*frac{cos2x}{2}-x=-cos2x-x$

Answer 1

$1); ; intlimits^{frac{3pi}{8}}_{frac{pi}{8}} {12sin(frac{pi}{8}-x)cos(frac{pi}{8}-x)} , dx = intlimits^{frac{3pi}{8}}_{frac{pi}{8}} {6sin(frac{pi}{4}-2x)x} , dx =\\=-6cdot frac{-1}{2}cdot cos(frac{pi}{4}-2x)|_{frac{pi}{8}}^{frac{3pi}{8}}=3cdot (cos(frac{pi}{4}-frac{3pi}{4})-cos(frac{pi}{4}-frac{pi}{4}))=\\=3cdot (cos(-frac{pi}{2})-cos0)=3cdot (0-1)=-3$

2)  Первообразную нашли правильно и подстановку выполнили верно. Может, от вас хотели, чтобы наоборот, синус двойного угла расписали по формуле. Тогда будет такое решение:

$intlimits_{0}^{frac{pi}{3}} {(2sin2x-1)} , dx = intlimits_0^{frac{pi}{3}} {(2cdot 2sinxcdot cosx-1)} , dx =\\=[, int sinxcdot cosx, dx=[t=sinx,; dt=cosx, dx]=int tcdot dt=\\=frac{t^2}{2}+C=frac{sin^2x}{2}+C; ]=\\=(4cdot frac{sin^2x}{2}-x)|_0^{frac{pi}{3}}=2sin^2frac{pi}{3}-frac{pi}{3}=2cdot (frac{sqrt3}{2})^2-frac{pi}{3}=frac{3}{2}-frac{pi}{3}; .$

$P.S.int sinxcdot cosx, dx=int sinxcdot d(sinx)=frac{sin^2x}{2}+C$

Answer 2

Такой интеграл можно ещё решить с помощью подведения под знак интеграла ( не переобозначать функцию новой переменной, а писать, дифференциал от какой функции стоит под знаком интеграла). Сейчас напишу, как это выглядит.