Question

Найти неопределенные интегралы , используя выделение полного квадрата
∫ 11x-3 / (x^2+6x+13) dx

Answer 1

$displaystyle I=intfrac{11x-3}{x^2+6x+13},dx$
Найдем производную знаменателя и выделим её в числителе.
$displaystyle (x^2+6x+13)'=2x+6; 11x-3=5.5(2x+6)-36$
Теперь интеграл разбивается на два.
$displaystyle I=intfrac{5.5(2x+6)}{x^2+6x+13},dx-intfrac{36}{x^2+6x+13},dx= \ \ 5.5intfrac{2x+6}{x^2+6x+13},dx-36intfrac{1}{x^2+6x+13},dx =I_1-I_2$
Находим I₁. Сделаем замену u=x²+6x+13, тогда du=(2x-6)dx - чего мы и добивались, выделяя в числителе производную знаменателя.
$displaystyle I_1=5.5int frac{du}{u}=5.5ln(u)+C_1=5.5ln(x^2+6x+13)+C_1$
Теперь займемся I₂.
Выделим в знаменателе полный квадрат.
x²+6x+13 = (x²+2·3·x+3²)-3²+13 = (x+3)²+4
Сделаем замену u=x+3, тогда du=dx и вычислим I₂
$displaystyle I_2=36int frac{du}{u^2+4}$
Это табличный интеграл:
$displaystyle int frac{dx}{x^2+a^2}= frac{1}{a}, arctg frac{x}{a}+C$
Тогда можно записать
$displaystyle I_2= 36frac{1}{2},arctg frac{u}{2}+C_2=18,arctg frac{x+3}{2}+C_2$
Окончательно получаем
$displaystyle I=5.5ln(x^2+6x+13)-18,arctg frac{x+3}{2}+C$