Question

Даны три вершины параллелограмма
А (2,-3, 1), В ( -3,5,3), С ( 4,3,- 4)
Найти четвертую вершину и острый угол параллелограмма

Answer 1

1) Надо использовать свойство симметрии вершин параллелограмма относительно точки пересечения диагоналей.
Находим точку О пересечения диагоналей как середину диагонали АС.
О((2+4)/2=3;-3+3)/2=0;(1-4)/2=-1,5)) = (3;0;-1,5).
Находим координаты точки Д:
Хд = 2Хо - Хв = 2*3-(-3) = 6+3 = 9,
Yд = 2Yо - Yв = 2*0-5 = -5,
Zд = 2Zо - Zв  = 2*(-1,5)-3 = -6.

Д(9;-5;-6).

2) Для того, чтобы узнать, какой угол острый, надо найти косинусы углов между векторами ВА и ВС, АВ и АД.
ВА(2-(-3)=5;-3-5=-8;1-3=-2) = (5;-8;-2),
ВС(4+3=7:3-5=-2;-4-3=-7)    = (7;-2;-7).
cos(<(BA-BC)) = (5*7+8*2+2*7)/(√(5²+8²+2²)*√(7²+2²+7²)) =
= (35+16+14)/(√25+64+4)*√(49+4+49)) =  65 / √93 * √102
 = 65/(9,643651*10,0995) = 65 / 97,3961  = 0,667378.

АВ = -ВА = (-5;8;2).        А (2,-3, 1),  Д(9;-5;-6).
         АД = (7;-2;-7).
cos(<(AB-АД)) = (-35-16-14) / 97,3961 = -65 / 97,3961 = -0,667378. 
Этот угол тупой.

<(BA-BC) = arc cos 0,667378 =  0,840114 радиан = 48,13498°.