Question

В треугольник АВС вписана окружность радиуса 2. Она касается стороны АС в точке Е, причём АЕ = 4, ЕС = 6. Найти площадь треугольника АВС.

Answer 1

$1)$

Δ $AEO=$ Δ $AKO$ ( по гипотенузе и катету)

$OE=OK$ ( как радиусы) и $AO -$ общая сторона

Значит $AE=AK=4$

$2)$

Δ $CEO=$ Δ $CLO$  ( по гипотенузе и катету)

$OL=OE$ ( как радиусы) и $CO -$ общая сторона

Значит $CL=CE=6$

$3)$

Δ $BKO=$ Δ $BLO$  ( по гипотенузе и катету)

$OL=OK$ ( как радиусы) и $BO -$ общая сторона

Значит $BL=BK=x$

$4)$

С одной стороны, $S=pr,$ где $p-$ полупериметр и $r-$ радиус вписанной окружности

С другой стороны, $S= sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},$  где $p-$ полупериметр,  $a,$ $b,$ $c$ -  стороны треугольника

$p= frac{1}{2} (a+b+c)$

$p= frac{AB+BC+AC}{2}$

$AB=AK+KB=4+x$

$BC=BL+LC=x+6$

$p= frac{4+x+x+6+10}{2}= frac{20+2x}{2} =10+x$

$S=2*(x+10)$

$S= sqrt{(10+x)((10+x-4-x)(10+x-x-6)(10+x-10)} =$$sqrt{(10+x)*6*4*x}=2 sqrt{6x(10+x)}$

$2 sqrt{6x(10+x)} =2(x+10)$

$sqrt{60x+6x^2} =(x+10)$

${60x+6x^2 =x^2+20x+100$

$5x^2+40x-100=0$

$x^2+8x-20=0$

$D=8^2-4*1*(-20)=64+80=144$

$x_1= frac{-8+12}{2}=2$

$x_2= frac{-8-12}{2}=-10$  - не подходит

$AB=4+2=6$

$BC=6+2=8$

$p= frac{6+8+10}{2} =12$

$S_{ABC} =12*2=24$ ( кв. ед)

Ответ:  $24$  кв. ед.