Question

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=х^2 и у =2х
2.Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченного линиями у^2=х и у=х^2

Answer 1

Дано
y1=x²,  y2 = 2x.
Сначала находим пределы интегрирования решением системы уравнений.
x² - 2x = 0 = х*(х-2)
Корни -  х1 = 0 и х2 = 2.
Прямая у=2х -  выше параболы, поэтому площадь вычисляется по формуле
$S= intlimits^2_0 {(2x-x^2} , dx=x^2- frac{x^3}{3}= frac{4}{3}~1.333$
ОТВЕТ S=4/3.
2. Объем фигуры по формулам
Формулы для вычисления объема фигуры.
y₁=x²   y₂²=x - пределы интегрирования от  0 до 1.
$V2= intlimits^2_0 { pi x^4} , dx = frac{ pi }{5}=0.628, \ V1= intlimits^2_0 { pi x} , dx= frac{ pi }{2} =1.571$
В результате объем равен разности 
V=V1-V2 =3/10*π ~0.94 - ОТВЕТ