Question

Вычислить определённый интеграл! Помогите!

Answer 1

$intlimits^{ frac{ pi }{2} }_{ frac{ pi }{4} } {x*cos4x} , dx=$
Так как представлен интеграл от произведения функций, то используется метод интегрирования по частям:
$intlimits {u} , dv =uv- intlimits {v} , du$
u=x ⇒ du=dx
dv=cos4xdx ⇒ $v= intlimits^{ frac{ pi }{2} }_{ frac{ pi }{4} } {cos4x} , dx = frac{1}{4} sin4x|^{ frac{ pi }{2} }_{ frac{ pi }{4} }= frac{1}{4}sin frac{4 pi }{2} - frac{1}{4} sin frac{4 pi }{4} =0-0=0$

$=x*0- frac{1}{4} intlimits^{ frac{ pi }{2} }_{ frac{ pi }{4} } {sin4x} , dx =- frac{1}{4}* (- frac{1}{4} cos4x)|^{ frac{ pi }{2} }_{ frac{ pi }{4} }= frac{cos frac{4 pi }{2} }{16} - frac{cos frac{4 pi }{4} }{16} =$
$= frac{1}{16} -(- frac{1}{16} )= frac{2}{16}= frac{1}{8}$