Question

1 задача
Дано:А(1;-2) В(2;4) С(-1;4) D(1;16)
а)Разложить вектор АВ по i , j .
б)Найти расстояние АВ
в)Найти координаты середины СD.
2 задача
Дано:А{-4;1} B(0;1) С(-2;4)
Доказать что угол А равен углу В
3 задача
Треугольник АВС задан своими координатами :
А(0;1) В(1;-4) С(5;2) D- середина ВС
Доказать что АD перпендикулярна BC
Найти высоту АD

Answer 1

Дано:А(1;-2) В(2;4) С(-1;4) D(1;16).
а)Разложить вектор АВ по i , j .
   АВ = i*(2-1), j*(4-(-2)) = i , 6j.
б)Найти расстояние АВ.
   АВ = √(1²+6²) = √37 ≈  6,082763.
в)Найти координаты середины СD.
Пусть это точка Е.
Е((-1+1)/2=0; (4+16)/2=10) = (0;10).

2) Дано:А{-4;1} B(0;1) С(-2;4)
Доказать что угол А равен углу В.
Эту задачу можно решить двумя способами:
а) по координатам определить длины сторон треугольника АВС и, если стороны против углов А и В равны, то и углы равны.
б) применить векторный способ.

а)  АВ = √((Хв-Ха)²+(Ув-Уа)²) = √16 = 4,
     BC = √((Хc-Хв)²+(Ус-Ув)²) = √13 ≈ 3,605551275, 
     AC = √((Хc-Хa)²+(Ус-Уa)²) = √13 ≈ 3,605551275.
Углы А и В равны.
б) Вектор АВ(4;0),
    Вектор АС(2;3).
    cosA = (4*2+0*3)/(√16*√(2²+3²) = 8/(4√13) = 2/√13.
    Вектор ВА(-4;0),
    Вектор ВС(-2;3)
    cosB = (-4*(-2))/(√16*√((-2)²+3³) = 8/(4√13) = 2/√13.
Косинусы углов равны, значит, и углы А и В равны.

3) Треугольник АВС задан своими координатами :
А(0;1) В(1;-4) С(5;2), D- середина ВС 
Доказать что АD (медиана) перпендикулярна BC.
Находим координаты точки Д:
Д((1+5)/2=3; (-4+2)/2=-1) = (3;-1).
Определим уравнения стороны ВС и медианы АД.
ВС: (х-1)/4 = (у-5)/6,
АД: х/3 = (у-1)/-2.
Их направляющие векторы: ВС(4;6), АД(3;-2)
Скалярное произведение равно 4*3+6*(-2) = 12-12 = 0.
Это условие перпендикулярности прямых.
4) Высота АД равна √(3²+(-2)²) = √(9+4) = √13 ≈  3,605551.