Question

1+2+3+4+5+4+3+2+1=25 то есть корень 5
1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36 то есть корень 6
почему всегда получается корень натурального числа?

Answer 1

Докажем равенство $1+2+...+(n-1)+n+(n-1)+...+2+1=n^2$

Известно, что $1+2+...+(n-1)+n=frac{n(n-1)}{2}$.

Тогда 
$1+2+...+(n-1)+n+(n-1)+...+2+1=\=2(1+2+...+(n-2)+(n-1))+n=\=2frac{(n-1)n}{2}+n=(n-1)n+n=n^2$