Question

Определите количество чётных натуральных делителей числа 13!=1*2*...*12*13?

Answer 1

Если $n=2^{a}p_1^{a_1}cdotldotscdot p_k^{a_k}$, где $p_i$ - различные простые, то количество четных делителей числа n равно $a(a_1+1)cdotldotscdot(a_k+1)$. Разложим 13! на простые множители:
2 встречается в множителях 2, 4, 6, 8, 10, 12, т.е. будет 2¹⁰,
3 встречается в множителях 3, 6, 9, 12, т.е. будет 3⁵,
5 встречается в множителях 5 и 10, т.е. будет 5²,
7, 11, 13 встречается только в множителях 7, 11, 13 поэтому
13!=2¹⁰·3⁵·5²·7·11·13.
Итак, количество четных делителей 13! равно 10·6·3·2·2·2=1440.