Question

Точки E, F, G и H - середины сторон АВ, ВС, CD и AD( квадрата АВСД). Получается внутри квадрата есть квадрат KLMN. Найти соотношение площади АВСД на площади квадрата KLMN.

Answer 1

б) Если AC = BD; и они взаимно перпендикулярны, то EFGH - квадрат (смотри п. а)) 
Это означает, что отрезки EG и FH тоже равны между собой и взаимно перпендикулярны, как диагонали квадрата. 
(Кроме того, они составляют с диагоналями ABCD углы в 45°, в решении это не используется, но для общей картины полезно заметить).
То есть, если между MN и FH угол α; то между EG и FH угол 90° - α;
Площадь параллелограмма равна d1*d2*sin(α)/2; где d1 и d2 - диагонали параллелограмма, а α - угол между ними. 
С учетом EG = FH; отношение площадей параллелограммов EMGN и FMHN равно sin(90° - α)/sin(α) = ctg(α);