Question

докажите что дробь 7^49+2^35/10 сократима

Answer 1

Дробь сократима, если её числитель и  знаменатель имеют хотя бы один общий делитель, отличный от единицы.

$dfrac{7^{49}+2^{35}}{10}$ будет сократимой, если $7^{49}+2^{35}$ делится на $5$ или $2$. А для того чтобы число делилось на $5$, нужно чтобы это число заканчивалось на $0$ или на $5$. А для делимости числа на $2$ нужно чтобы число заканчивалось на четную цифру.


Выписывая первые степени семёрки 
$7^7=7 \ 7^2=dots 9 \ 7^3= dots 3 \ 7^4=dots 1 \ 7^5=dots 7 \ 7^6=dots 9 \ 7^7=dots 3 \ 7^8=dots 1 \ 7^9=dots 7$ 
, получаем закономерность:
$7^{2n}=dots1 \ 7^{2n+1}=dots7 \ 7^{2m}=dots9 \ 7^{2m+1}dots3$
, где $n$ — чётное натуральное число, $m$ — нечётное натуральное число.

То же делаем и для степеней двойки:
$2^1=1 \ 2^2=4 \ 2^3=8 \ 2^4=dots6 \ 2^5=dots2 \ 2^6=dots4 \ 2^7=dots8 \ 2^8=dots6 \ 2^9=dots2$

$2^{2n}=dots6 \ 2^{2n+1}=dots2 \ 2^{2m}=dots4 \ 2^{2m+1}=dots8$ 
 , где $n$ — чётное натуральное число, $m$ — нечётное натуральное число.



Т.к. $49=24cdot2+1$ , то $7^{49}=dots7$.
Т.к. $35=17cdot2+1$ , то $2^{35}=dots8$.
Значит $7^{49}+2^{35}=dots7+dots8=dots5$.


Получается, и числитель, и знаменатель дроби $dfrac{7^{49}+2^{35}}{10}$ делятся на $5$, значит, дробь сократима.