Question

Найти интегралы: (полное решение) задания на изображении

Answer 1

$1)quad int frac{x^2}{x^2-5x+4} =int frac{(x^2-5x+4)+5x-4}{x^2-5x+4} dx=int (1+ frac{5x-4}{x^2-5x+4} )dx=\\=int dx+int frac{5x-4}{(x-frac{5}{2})^2-frac{25}{4}+4}dx=x+int frac{5x-4}{(x-frac{5}{2})^2-frac{9}{4}}=\\=[t=x-frac{5}{2}; ,; dt=dx, ]=x+int frac{5(t+frac{5}{2})-4}{t^2-frac{9}{4}} =x+int frac{5t+frac{17}{2}}{t^2-frac{9}{4}} dt=$

$=x+frac{5}{2}int frac{2t, dt}{t^2-frac{9}{4}}+frac{17}{2}int frac{dt}{t^2-(frac{3}{2})^2}=x+frac{5}{2}cdot ln|t^2-frac{9}{4}|+ frac{17}{2}cdot frac{1}{2cdot frac{3}{2}} cdot lnleft | frac{t-frac{3}{2}}{t+frac{3}{2}} right |+C=$

$=x+ frac{5}{2}cdot ln|x^2-5x+4|+ frac{17}{6} cdot lnleft | frac{x-4}{x-1} right |+C$

$2)quad int sin^23x, dx=int frac{1-cos6x}{2}dx=frac{1}{2}int (1-cos6x)dx=\\=frac{1}{2}(x-frac{1}{6}sin6x)+C\\3)quad int frac{dx}{1+sqrt{x}} =[t=sqrt{x},; t^2=x; ,; dx=2t, dt]=\\=int frac{2t, dt}{1+t} =2int (1-frac{1}{1+t})dt=2(t-ln|1+t|)+C=\\=2left (sqrt{x}-ln|1+sqrt{x}|right )+C\\P.S.; ; int frac{dx}{ax+b} =frac{1}{a}cdot ln|ax+b|+C$