Question

Найти дифференциалы следующих производных:
1) y = x(x - 3);
2) y = $sqrt{x^2 - 3x}$
Найти частные производные второго порядка и полный дифференциал:
1) z = $frac{x^2}{y - 2x} }$

Answer 1

$1)quad y=x(x-3)=x^2-3x\\y'=2x-3\\dy=(2x-3)dx\\2)quad y=sqrt{x^2-3x}\\y'= frac{2x-3}{2sqrt{x^2-3x}} \\dy= frac{2x-3}{2sqrt{x^2-3x}} dx\\3)quad z= frac{x^2}{y-2x}\\z'_{x}= frac{2x(y-2x)-x^2(-2)}{(y-2x)^2} = frac{2xy-2x^2}{(y-2x)^2} = frac{2x(y-x)}{(y-2x)^2} \\z'_{y}= frac{-x^2}{(y-2x)^2}\\dz=frac{2x(y-x)}{(y-2x)^2}dx-frac{x^2}{(y-2x)^2} dy\\z''_{xx}= frac{(2y-4x)(y-2x)^2-2(2xy-2x^2)(y-2x)(-2)}{(y-2x)^4}= frac{2(y-2x)^2+8x(y-x)}{(y-2x)^3}$

$z''_{yy}= frac{-x^2cdot 2(y-2x)}{(y-2x)^4} = frac{-2x^2}{(y-2x)^3} \\z''_{yx}= frac{-2x(y-2x)^2+x^2cdot 2(y-2x)cdot (-2)}{(y-2x)^4} = frac{-2x(y-2x)-4x^2}{(y-2x)^3} =frac{-2xy}{(y-2x)^3}=z''_{xy}$