Question

Боковые стороны АВ и DC трапеции ABCD равны соответственно 10 и 26,а основание ВС равно 1. Биссектриса угла АDC проходит через середину стороны АВ. Найдите площадь трапеции.

Answer 1

Дано: АВCD - трапеции, АВ и CD - боковые стороны трапеции
          АВ =10, CD = 26, ВС = 1, DM - биссектриса ∠ADC проходящая через середину АВ.

Найти: S - ?

Решение.

Проведем через точку М линию MN ║ AD, т.к. АМ=МВ= 10 / 2 = 5 по условию задачи, то  MN - средняя линия.

DM - биссектриса, то ∠ADM = ∠MDC, а ∠NMD = ∠ADM как накрест лежащие при параллельных прямых (MN ║ AD), отсюда следует, что ∠NMD = ∠NDM  следовательно ΔMND - равнобедренный. (смотри рисунок ниже)
тогда
MN = ND = CD / 2 = 26 / 2 = 13

С другой стороны средняя линия в трапеции равна

$MN = frac{BC + AD}{2} = frac{1+AD}{2} \ \ 13 * 2 = 1+AD \ \ AD =25$

Проведем в равнобедренном треугольнике ΔMND прямую NO - высоту и продлим эту прямую до точки К лежащей на прямой AD.
ΔNOD = ΔKOD  - по стороне (OD) и двум прилежащим к ней углам, следовательно MNDK ромб, у которого
MK = MN = ND = KD = 13
тогда
AK = AD - KD = 25 - 13 = 12

Если в ΔAMK  выполняется условие MK² = AM² + AK²  , то ΔAMK - прямоугольный. 
13² = 5² + 12²
169 = 169 ,  следовательно ∠MAK = 90° , а трапеция ABCD прямоугольная,
Тогда высота трапеции равна
 h = AB = 10 

Найдем площадь трапеции

$S = frac{BC + AD}{2} * AB = S = frac{1 + 25}{2} * 10 = 130$ кв.ед.

Ответ: S = 130 кв.ед.