Question

при каких значениях а один корень уравнения X^2-(a+1)*x+2a^2=0 больше 0,5,а другой меньше 0,5

Answer 1

$x^{2} -(a+1)x+2 a^{2} =0$
По теореме Виетта выразим оба корня через a:
$x_{12}= frac{a+1+- sqrt{(a+1)^2-8a^2} }{2}$
$x_{1}= frac{a+1- sqrt{(a+1)^2-8a^2} }{2}$
$x_{2}= frac{a+1+ sqrt{(a+1)^2-8a^2} }{2}$
В задании сказано что один корень должен быть меньше 0,5, а другой больше 0,5, тогда x1<0.5, x2>0.5 составим систему неравенств:
$left { {{frac{a+1- sqrt{(a+1)^2-8a^2} }{2} textless 0.5} atop {frac{a+1+ sqrt{(a+1)^2-8a^2} }{2}} textgreater 0.5} right.$
Решаем первое неравенство:
${{{a+1- sqrt{(a+1)^2-8a^2} } textless 1$
${{{a- sqrt{(a+1)^2-8a^2} } textless 0$
${{{a- sqrt{-7a^2+2a+1} } textless 0$
$a textless sqrt{-7a^2+2a+1}$
$-7a^2+2a+1 textgreater 0; frac{1- sqrt{8} }{7} textless a textless frac{1+ sqrt{8} }{7}$
при a<0:
$a^2 textgreater -7a^2+2a+1; 8a^2-2a-1 textgreater 0;$
$a textless - frac{1}{4}$ или $a textgreater frac{1}{2}$
получаем при a<0 решение первого неравенства:
a∈$[frac{1-sqrt8}{7} ;- frac{1}{4} )$
при a>0:
$a^2 textless -7a^2+2a+1;8a^2-2a-1 textless 0;$
получаем что при a>0
a∈$( frac{1}{2}; frac{1+ sqrt{8} }{7} ]$
Решаем второе неравенство:
$a+ sqrt{(a+1)^2-8a^2} textgreater 0$
$a textgreater - sqrt{-7a^2+2a+1}$
аналогично решаем и получаем a∈$(- frac{1}{4} ; frac{1+ sqrt{8} }{7} ]$
Получаем общий ответ: a∈$( frac{1}{2} ; frac{1+ sqrt{8} }{7} ]$